Орел или решка: выбор правильного решения в трех типах ситуаций

Орел или решка: выбор правильного решения в трех типах ситуаций

Орел или решка: выбор правильного решения в трех типах ситуаций

Особенности целей диктуют способ их достижения. Так, могут сложиться ситуации, разрешение которых связано с выбором одного из типов действий:

  1. решение принимать или не принимать (по принципу «делать или не делать»);
  2. решение с двумя вариантами достижения цели;
  3. решение с тремя и более вариантами.

Решения типа «делать — не делать» встречаются в бизнесе достаточно часто. Например: участвовать в ярмарке или нет, принять на работу претендента или нет. В условиях, когда решение следует принять быстро — предпринимать какие-то действия или нет (вы мучаетесь, не зная, что делать), специалист по психологии принятия решений Ричард Доусон рекомендует бросить монетку. В такой ситуации это действительно наиболее эффективный вариант принятия решений с минимальными затратами ресурсов, усилий и т.д. Если выпадет орел — сделаете одно, если решка — другое.

Если вы не разделяете этого совета, можно прибегнуть к составлениюпроверочной анкеты. Для этого составляете перечень требований (условий) к тому или иному решению и передаете его исполнителям. При отсутствии необходимых требований решение не принимается. Например, при подборе кадров определенной специальности анкета может содержать такие требования:

  • Стаж работы не менее трех лет, причем один год по данной специальности.
  • Поездки в командировки не менее четырех раз в год.
  • Согласие на зарплату без претензий к администрации.
  • Хорошее физическое состояние здоровья.

Суть метода принятия решений «по оценке количественных показателей»состоит в следующем. В правой стороне таблицы указывается группа положительных факторов принятия решений, в левой — отрицательных. Каждый из факторов оценивается в баллах от 1 до 10. По каждой из групп определяется общая сумма баллов и среднее ее значение. Далее средние величины сравниваются. Решение принимается, если среднее значение положительных факторов превосходит, либо наоборот — не принимается, если средняя величина значений отрицательных факторов оказалась выше. В таблице это может выглядеть следующим образом (табл. 1).

Таблица 1. Оценка факторов принятия решений

№ п/п Положительные факторы принятия решения Оценка в баллах № п/п Отрицательные факторы принятия решения Оценка в баллах
1 1
2 2
3 3
4
5 Итого баллов (сумма строк) строка 5 5 Итого баллов (сумма строк) строка 5
6 Среднее значение [строка 5] / 4 6 Среднее значение [строка 5] / 4

2. Решение с двумя вариантами

При решении с двумя альтернативами (правда, они не столь распространены) следует глубоко изучить проблему и свести ее к ситуации «делать — не делать». Далее могут применяться и другие способы — например рейтинговая система. Это особенно удобно при недостатке информации. Суть ее заключается в том, что используется тест с десятибалльной системой оценок. Наивысшим баллом (10) оценивается самое положительное отношение. Низкая оценка (единица) присваивается, соответственно, отрицательному ответу. К примеру, для решения об открытии магазина в данном пункте может быть поставлен вопрос для оценки покупателями: «Как вы относитесь к открытию магазина . в данном месте (оценить баллом от 1 до 10)? Почему вы оцениваете таким образом?» Аналогично может звучать вопрос о качестве обслуживания, предлагаемых товарах и др. Полученные оценки являются основанием для анализа и принятия соответствующего решения.

Существует метод выбора решений, предложенный Бенджамином Франклином. Он характеризуется тем, что на листе бумаги, разделенной пополам, слева пишется «за» (принятие решения), справа — «против». В течение трех-четырех дней в результате обдумывания решения заносятся доводы соответственно в левую или правую части. По окончании данного срока анализируются записи. Если одному доводу «за» соответствуют два аргумента «против», предложение и аргументы «против» исключаются. Точно так же, если двум доводам «за» соответствуют три «против», все пять исключаются. Таким образом, остается количество сбалансированных аргументов. Если в дополнительные один-два дня никаких суждений не появляется, решение принимается.

При наличии альтернативных вариантов применяется для выбора решений ианалитически-цифровой метод. Для этого предварительно выделяются наиболее важные признаки решений, которые оцениваются далее по десятибалльной системе в каждом из вариантов. Например, предстоит построить магазин в одном из двух населенных пунктов — А или Б. В каком пункте следует начать строительство? Чтобы сделать выбор, оценим повариантно состояние ряда признаков в каждом из пунктов. Разница в сумме баллов по каждому из вариантов поможет выбрать наиболее предпочтительный. В нашем примере выбор падает на пункт А, где целесообразнее осуществить намечаемое строительство (39 баллов против 32, табл. 2).

Таблица 2. Выбор вариантов решений

№ п/п Признаки Пункт А Пункт Б
1 Удобство расположения 8 6
2 Состояние дорог 10 8
3 Наличие материально-технической базы 5 5
4 Доходы обслуживаемого населения 6 5
5 Наличие конкурентов 3 3
6 наличие спонсоров 7 5
Итого 39 32
  1. выделить основную цель решения и частные подцели;
  2. оценить их приоритетность по десятибалльной системе;
  3. установить вероятность достижения каждой из целей («коэффициент приведения») в каждом варианте;
  4. определить общий результат по каждому из вариантов (путем произведения приоритетов целей и вероятности их достижения);
  5. сопоставить варианты и выбрать вариант с наибольшим значением результата.

Процедура расчета оформляется таблицей выбора альтернатив достижения целей приведена в таблице 3.

Таблица 3. Выбор альтернатив достижения целей

№ п/п Цели Приоритетность целей Вероятность достижения Результат
Варианты Варианты
Итого х х х х

Таким образом, подытожим рассмотренные выше цели, типы решений и методы принятия решений в следующей таблице.

Таблица 4. Методы реализации решений

Орел или решка: выбор правильного решения в трех типах ситуаций

Особенности целей диктуют способ их достижения. Так, могут сложиться ситуации, разрешение которых связано с выбором одного из типов действий: решение принимать или не принимать (по принципу «делать или не делать»); решение с двумя вариантами достижения цели; решение с тремя и более вариантами. Для каждого из них есть верный вариант нахождения правильного решения.

Особенности целей диктуют способ их достижения. Так, могут сложиться ситуации, разрешение которых связано с выбором одного из типов действий:

  1. решение принимать или не принимать (по принципу «делать или не делать»);
  2. решение с двумя вариантами достижения цели;
  3. решение с тремя и более вариантами.

1. Делать — не делать

Если вы не разделяете этого совета, можно прибегнуть к составлениюпроверочной анкеты. Для этого составляете перечень требований (условий) к тому или иному решению и передаете его исполнителям. При отсутствии необходимых требований решение не принимается. Например, при подборе кадров определенной специальности анкета может содержать такие требования:

  • Стаж работы не менее трех лет, причем один год по данной специальности.
  • Поездки в командировки не менее четырех раз в год.
  • Согласие на зарплату без претензий к администрации.
  • Хорошее физическое состояние здоровья.

Суть метода принятия решений «по оценке количественных показателей»состоит в следующем. В правой стороне таблицы указывается группа положительных факторов принятия решений, в левой — отрицательных. Каждый из факторов оценивается в баллах от 1 до 10. По каждой из групп определяется общая сумма баллов и среднее ее значение. Далее средние величины сравниваются. Решение принимается, если среднее значение положительных факторов превосходит, либо наоборот — не принимается, если средняя величина значений отрицательных факторов оказалась выше. В таблице это может выглядеть следующим образом (табл. 1).

Таблица 1. Оценка факторов принятия решений

№ п/п Положительные факторы принятия решения Оценка в баллах № п/п Отрицательные факторы принятия решения Оценка в баллах
1 1
2 2
3 3
4
5 Итого баллов (сумма строк) строка 5 5 Итого баллов (сумма строк) строка 5
6 Среднее значение [строка 5] / 4 6 Среднее значение [строка 5] / 4

2. Решение с двумя вариантами

Существует метод выбора решений, предложенный Бенджамином Франклином. Он характеризуется тем, что на листе бумаги, разделенной пополам, слева пишется «за» (принятие решения), справа — «против». В течение трех-четырех дней в результате обдумывания решения заносятся доводы соответственно в левую или правую части. По окончании данного срока анализируются записи. Если одному доводу «за» соответствуют два аргумента «против», предложение и аргументы «против» исключаются. Точно так же, если двум доводам «за» соответствуют три «против», все пять исключаются. Таким образом, остается количество сбалансированных аргументов. Если в дополнительные один-два дня никаких суждений не появляется, решение принимается.

Читать еще:  Как заполнить самостоятельно отчет формы № 1-предприниматель «Сведения о деятельности индивидуального предпринимателя»

3. Решение с тремя и более вариантами

Таблица 2. Выбор вариантов решений

№ п/п Признаки Пункт А Пункт Б
1 Удобство расположения 8 6
2 Состояние дорог 10 8
3 Наличие материально-технической базы 5 5
4 Доходы обслуживаемого населения 6 5
5 Наличие конкурентов 3 3
6 наличие спонсоров 7 5
Итого 39 32
  1. выделить основную цель решения и частные подцели;
  2. оценить их приоритетность по десятибалльной системе;
  3. установить вероятность достижения каждой из целей («коэффициент приведения») в каждом варианте;
  4. определить общий результат по каждому из вариантов (путем произведения приоритетов целей и вероятности их достижения);
  5. сопоставить варианты и выбрать вариант с наибольшим значением результата.

Процедура расчета оформляется таблицей выбора альтернатив достижения целей приведена в таблице 3.

Таблица 3. Выбор альтернатив достижения целей

№ п/п Цели Приоритетность целей Вероятность достижения Результат
Варианты Варианты
Итого х х х х

Таким образом, подытожим рассмотренные выше цели, типы решений и методы принятия решений в следующей таблице.

Орел или решка?

Человек должен мыслить вероятностно. Просто потому, что наш мир так устроен, что каждое событие происходит с той или иной степенью вероятности. И этот «железобетонный» факт нужно всегда принимать во внимание.

Заметьте, что это не вполне перекрывается с диалектичностью мышления. Разница в том, что диалектика описывает любую ситуацию, как совокупность разнонаправленных факторов (что, безусловно, влияет на вероятность того или иного исхода). Тогда ситуация — суть синтез этих факторов в данный конкретный момент.

Вероятность же — понятие математическое. Классическим примером является подбрасывание монетки. Может выпасть «орел», а может «решка». Поскольку сторон у монетки всего две, то вероятность выпадения «орла» составляет 1/2 или 0,5.

Есть несколько очень важных моментов, входящих в понятие «вероятностное мышление», которые на примере с монеткой можно продемонстрировать.

Вначале о двух принципиально разных вариантах: а) когда вероятность всей последовательности событий или элементов системы влияет на результат; б) когда то, что было до очередного события – неважно.

Рассмотрим первый вариант (напомню, когда вероятность всей последовательности событий или поведения элементов системы влияет на результат).

Какова вероятность выпадения «орла» 2 раза подряд? Правильно, 0,5*0,5=0,25. Т.е. в 2 раза меньше, чем вероятность выпадения «орла» в одной-единственной попытке.

Это очень важный момент, который нужно научиться видеть и понимать в любой системе. Допустим, возьмем большой пассажирский самолет. В нем многие тысячи деталей и механизмов. Часть из них является критически важными — т.е. такими, поломка или отказ которых приведет к катастрофе. Допустим, что таких деталей 1000 штук. Вероятность отказа каждой детали в отдельности достаточно низка. Уже потому, что их конструировали и изготавливали профессионалы. Допустим, что надежность каждой детали из 1000 составляет 0,999. Заметьте, что это весьма высокая надежность!

Но на исход полета (надежность самолета в целом) влияют все 1000 деталей! Поэтому, надежность самолета в целом будет оцениваться как 0,999 в степени 1000. Это значение равно 0,375 по моему калькулятору. Что такая цифра означает в жизни? Самолет упадёт с вероятностью 1-0.368=0.632, т.е. больше чем в половине случаев [спасибо коллеге NIN за поправку]. Вы согласились бы лететь на таких условиях. (В скобках замечу, что для повышения надежности технических систем уже давно разработаны специальные методы.)

Но это «железяки». А теперь представьте, что вы выстраиваете цепочку сделок с 5 контрагентами. При этом каждому участнику вы доверяете (иначе зачем ввязываться в откровенно сомнительную авантюру?) на 80%. Тогда вероятность успешного окончания сделки 0,8 в 5-ой степени – это 0,328, т.е. чуть выше 30%. Вы готовы рискнуть своими деньгами на таких условиях?

Теперь вариант №2, когда вероятность всей последовательности событий или поведения элементов системы не влияет на результат очередной попытки.

Допустим, вы подбросили монетку 10 раз — и все десять раз выпала «решка». Ну чего не случается в жизни, правда?! Вы бросаете 11-й раз. Вопрос: какова вероятность того, что выпадет снова «решка»?

Правильный ответ (до которого я сам в свое время не додумался, честно признаюсь) — 0,5! Хотя очень хочется сказать 0,5 в 11 степени, т.е. 0,00049.

Дело в том, что монетка «не знает», как она падала в предыдущие «разы». Для нее в каждой отдельной попытке есть только 2 варианта, причем вероятность каждого составляет 0,5.

В жизни очень важно уметь видеть такие ситуации, которые «работают» по такому вот «независимому» механизму – и отличать их от «зависимых» (т.е. таких, в которых вероятность накапливается).

Обратите внимание, что ошибка (разница) в оценках в этом примере составляет 1000 раз. Т.е. мы скромно так ошиблись на 3 порядка. Даже некорректно использовать термин «ошиблись» — мы просто не в курсе дела, что называется. Это к вопросу о важности различения типов ситуаций по жизни.

Завершая разговор об этих двух различных вариантах, можно упомянуть о том, что в терминах философии сказанное означает, что между событиями в первом случае есть, а во втором случае нет причинно-следственной связи.

В самом деле, в первом случае условием выполнения задачи являются все исходы подбрасываний монетки. Например, если во второй попытке выпала «решка» — то результата «5 орлов подряд» уже не достичь, верно? Во втором случае исходы предыдущих попыток никак не влияют на исход любой последующей.

Учет маловероятных событий и граничных условий

Есть еще один аспект темы «Орел или решка?» Записные остряки иногда шутят, что возможны еще 2 варианта:

  • монетка падает на ребро;
  • монетка повисает в воздухе.

Это возможно? Да, возможно. На ребро монетка может упасть и на Земле. А повиснуть (не упасть, т.е. не зафиксировать ни одно из возможных состояний) она может в космосе, где нет веса.

В каждой ситуации (в т.ч. жизненной) есть свой главный вопрос. В ситуации с падением монетки на ребро это: а какова вероятность того, что будет именно такой исход?

Здесь вы можете остановиться и сделать 100 или 1000 подбрасываний монетки. Я не шучу, это очень важный момент. Ведь речь о том, что для конкретного мышления нужен практический опыт. Вот вы и можете на своем опыте попытаться добиться ситуации, чтобы монетка стала на ребро…

… Надеюсь, вы уже накидались вдоволь и мы можем продолжить. Подозреваю, что даже в 1000 попыток монетка ни разу не встала на ребро. Хотя рукой, действуя очень осторожно и тщательно, мы можем ее в такое положение поместить, правда? Т.е. какая-то конечная вероятность существует.

Для целей нашего разговора главный вывод из этого упражнения заключается в двух вещах:

• в большинстве случаев, когда одно событие имеет вероятность в 10 и более раз выше, чем иное событие, вторую альтернативу из рассмотрения можно исключить (обычно разницу на порядок величины и более называют «качественной»);
• в тоже время важно помнить, что мы всегда имеем дело с вероятностными процессами. И что исключили мы на этапе анализа тот или иной вариант не потому, что он невозможен в принципе, а потому что он маловероятен, а возможная «цена» такого исхода не запредельно велика для нас. Если же на кону жизнь или состояние – тогда нужно еще разок подумать, а можно ли пренебречь даже такой небольшой вероятностью негативного исхода…
Важно четко отдавать себе отчет в том, для чего и какой именно анализ вы делаете, быть адекватным и профессиональным.

Еще немного об учете граничных условий

Пример с монеткой, повисшей в воздухе, указывает на важность учета условий, в которых протекает тот или иной процесс. Всегда нужно отдельным пунктом четко прояснить граничные условия задачи, которую вам предлагают решить (действовать, работать). Кстати, классический пример такой ситуации – это Александр Македонский и «гордиев узел». Как известно, он не стал его развязывать, он его просто разрубил. При этом, не суть важно, были заданы условия или нет, т.к. оба варианта одинаково полезно обдумать: а) можно воспользоваться неопределенностью граничных условий или б) можно сознательно выйти за границы заданных условий, поскольку — оставаясь в них — задачу не решить.

Читать еще:  Выбор эксплуатирующей компании

Далее, есть такая фраза: «С ним я бы в разведку не пошел». В чем ее суть с точки зрения вероятности? В ней на основе наблюдения за поведением данного человека делается некий прогноз о его возможных действиях в экстремальных условиях разведывательной операции (т.е. о вероятности того или иного исхода в иных граничных условиях).

Причем логика такова: если в повседневной жизни в поведении данного индивида есть настораживающие моменты — то как же он поведет себя, когда его «жареный петух в одно место клюнет»?!

Вывод прост: если вы принципиально меняете условия проведения того или иного опыта — то вы должны быть готовы к тому, что результаты, полученные в исходных условиях, будут откровенно ненадежными. Т.е. вероятностное распределение исходов резко изменится.

Очень важно четко осознавать граничные условия задачи.

О различиях между априорной и апостериорной оценками

Из вероятностного характера большинства событий вытекает принципиальная разница между т.н. априорной и апостериорной оценкой. Т.е. оценкой до и после события.

До полета можно априори заявить, что он обязательно будет успешным? Можно, но это будет абсолютно некорректно, т.к. конечная вероятность неблагоприятного исхода существует всегда. Зато после полета вы можете сказать что-то вроде «Да я и не сомневался, потому что вероятность неуспеха была ничтожно мала. »

Самая же большая разница в таких оценках — разница психологическая. Вы это легко поймете, когда вспомните свое состояние до полета и после того, как самолет коснулся колесами земли.

Это, вообще-то очень небанальный вывод, хотя на первый взгляд может показаться именно таким. Вы легко поймете его важность, если вспомните, как люди, научившись что-то делать (например, фотографировать), потом говорят с нарочитой небрежностью: «Легко. » Так вот, это и есть апостериорная оценка и при этом человек уже «забыл», что никакой гарантии такого исхода ведь не было, была лишь вероятность. А для человека, который еще этому не научился, она выглядит издевкой, причем абсолютно непонятной и от этого еще более обидной. Обидной еще и потому, что совершенно не факт, что в его случае факторы сойдутся в нужной конфигурации и он тоже совершит этот качественный скачок. Фотографируют тысячи, а фотографами становятся единицы.

Важно помнить, что то, что для вас является апостериорным – для других является априорным. Они смотрят на эту задачу с другой стороны, они еще не знают о ней того, что знаете вы…

Проявлением «вероятностного мышления» у вас в голове должно служить численная оценка вероятности того или иного события. Т.е. вы должны помыслить, к примеру, так: «оценка вероятности неблагоприятного исхода 0,1, а это уже серьезно и для меня неприемлемо». Но никак не «авось, этого не произойдет».

Я затронул только малую часть того, что я называю «вероятностным мышлением». Это большая область, которую желательно изучить, осознать и приобрести необходимые автоматические навыки (в т.ч. выполнения всех видов оценки).

Главное же, ради чего я решил написать это небольшое эссе, заключается в напоминании о том, что состояние неопределенности (и вероятность, как мера неопределенности) — это неотъемлемое условие, атрибут человеческого существования, нашей жизни. Повысить определенность формально возможно и это нужно стараться делать. К сожалению, почти всегда такие попытки связаны либо с необоснованно высоким расходом сил, либо отсутствием времени. Самые же важные процессы в нашей жизни неопределенны принципиально, в силу своей исключительной сложности и многофакторности. В результате наиболее существенные наши решения всегда принимаются в условиях недостатка информации, когда вероятность успеха отнюдь не так велика, как нам бы хотелось думать. И у нас нет иного выхода, как попытаться научиться спокойно к этому относиться и быть достаточно эффективным и в таких условиях.

P.S. Чтобы не заканчивать на пафосно-назидательной ноте, напомню классический анекдот про «вероятностное мышление» в неумелом исполнении:

— Какова вероятность того, что завтра наступит конец света?
— 50%, потому что либо наступит, либо нет…

Орел или решка: выбор правильного решения в трех типах ситуаций

Задача 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Общее число равновозможных комбинаций может быть четыре:

«орел-орел», «орел-решка», «решка-орел», «решка-решка».

Из них благоприятных исходов по условию задачи два – это «орел-решка» и «решка-орел». Следовательно, искомая вероятность, равна

.

Задача 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза.

1-й способ: Решать эту задачу можно аналогично предыдущей. Всего исходов может быть 8:

Благоприятных исходов по условию задачи 3 – это «орел-решка-решка», «решка-орел-решка», «решка-решка-орел». И искомая вероятность равна

.

2-й способ. В рамках данной задачи общее число исходов можно определить по формуле

,

где – число подбрасываний монеты (в данном случае ), а 2 – число возможных исходов при подбрасывании монеты (либо «орел», либо «решка»). Таким образом, сразу получаем число исходов .

Число благоприятных исходов можно определить по формуле

,

где – число выпадения «решки» из подбрасываний. В данной задаче и

.

В итоге получаем искомую вероятность

.

Второй способ может существенно сократить время на решение подобных задач, особенно когда речь идет о четырех и более подбрасываний монеты. В этом случае перебирать все варианты и не ошибиться становится трудно, и применение указанных формул существенно облегчает задачу.

Задача 3. В случайном эксперименте монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно три раза.

В данной задаче имеется только один благоприятный исход из восьми равновероятных исходов:

Следовательно, искомая вероятность равна

.

Общее число исходов также можно определить по формуле , приведенной в предыдущей задаче.

Задача 4. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Изумруд» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Изумруд» выиграет жребий ровно один раз.

Будем считать, что выпадение «орла» соответствует началу игры мячом команды «Изумруд». Тогда задача сводится к определению вероятности выпадения «орла» ровно один раз из трех бросаний монеты.

Всего исходов 8 (см. предыдущие задачи). Из них «орел» выпадет ровно один раз в вариантах – это случаи: «орел-решка-решка», «решка-орел-решка», «решка-решка-орел». Следовательно, искомая вероятность равна

.

Бросание монет. Решение задач на нахождение вероятности

На этой странице я расскажу об одном популярном классе задач, которые встречаются в любых учебниках и методичках по теории вероятностей – задачах про бросание монет (кстати, они встречаются в части В6 ЕГЭ). Формулировки могут быть разные, например “Симметричную монету бросают дважды. ” или “Бросают 3 монеты . “, но принцип решения от этого не меняется, вот увидите.

Кстати, сразу упомяну, что в контексте подобных задач не существенно, написать “бросают 3 монеты” или “бросают монету 3 раза”, результат (в смысле вычисления вероятности) будет один и тот же (так как результаты бросков независимы друг от друга).

Для задач о подбрасывании монеты существуют два основных метода решения, один – по формуле классической вероятности (фактически переборный метод, доступный даже школьникам), а также его более сложный вариант с использованием комбинаторики, второй – по формуле Бернулли (на мой взгляд он даже легче первого, нужно только запомнить формулу). Рекомендую по порядку прочитать про оба метода, и потом выбирать при решении подходящий.

1. Классическое определение вероятности

Для начала надо вспомнить саму формулу, по которой будем считать. Итак, вероятность находится как $P=m/n$, где $n$ – число всех равновозможных элементарных исходов нашего случайного эксперимента с подбрасыванием, а $m$ – число тех исходов, которые благоприятствуют событию (то есть тому, что указано в условии задачи). Но как найти эти загадочные исходы? Проще всего пояснить на примерах.

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки (цифры), а буквой О – выпадение орла (герба), то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО (соответствено, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций и получаем $n=4$. Теперь из них надо отобрать только те, что удовлетворяют условию “орел выпадет ровно один раз”, это комбинации ОР и РО и их ровно $m=2$. Тогда искомая вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$. Готово!

Читать еще:  Что нового в работе с наличкой

Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

Так как монета снова подбрасывается два раза, множество всех элементарных исходов эксперимента (или комбинаций, как мы их называем здесь для удобства), точно такое же: РР, ОР, РО и ОО, $n=4$. А вот условию “оба раза выпала одна сторона” удовлетворяют другие комбинации: РР и ОО, откуда $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$.

Как видим, все довольно просто. Перейдем к чуть более сложной задаче.

Пример 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Снова применим формулу классической вероятности. Шаг первый – выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Смотри-ка, бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже $n=8$ (кстати, они находятся по формуле $n=2^k$, где $k$ – число бросков монеты).

Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет $m=3$. Тогда вероятность события $P=m/n=3/8=0.375$.

Взяли разгон и переходим к 4 монетам.

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Приступаем к вычислению. Шаг первый – выписываем все возможные комбинации для 4 бросков монеты. Чтобы проверить себя, сразу подсчитаем, что их должно получиться $n=2^4=16$ штук! Вот они:
OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,
POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.

Теперь выбираем те, где герб (он же орел, он же буква О) встречается 2 или 3 раза: OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO, их будет $m=10$. Тогда вероятность равна $P=m/n=10/16=5/8=0.625$.

Думаю, к этому времени вы уже поняли суть метода и сможете сами решить задачи, где бросаются 2-3-4 монеты и орел не выпадает ни разу, или решка ровно один раз и т.п.

2. Комбинаторика + классическая вероятность

Надо заметить, что если действовать исключительно переборным методом (как это делалось выше), с ростом числа монет быстро растет число комбинаций (для 5 монет – 32, для 6 монет – 64 и так далее), так что и вероятность ошибиться при выписывании исходов велика, метод решения теряет свою простоту и привлекательность.

Один из способов решения этой проблемы – остаться в рамках формулы классической вероятности, но использовать комбинаторные методы (см. формулы комбинаторики тут) для подсчета числа исходов. Поясню на примере последней задачи, решив ее другим способом.

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 4 монет. Все исходы можно закодировать некоторой последовательностью вида $X_1 X_2 X_3 X_4$, где $X_i=O$ (в $i$-ый раз выпал орел) или $X_i=P$ (в $i$-ый раз выпала решка). Найдем число всех таких последовательностей. Значение $X_1$ (результат первого броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), значение $X_2$ (результат второго броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), и так далее. Итого получим всего $n=2cdot 2cdot 2cdot 2=16$ различных исходов. Или, если использовать формулу комбинаторики для числа размещений с повторениями из 2 объектов по 4 позициям, сразу получим $n=A_4^2=2^4=16$.

Найдем число благоприятствующих исходов с использованием комбинаторики. Сначала найдем число таких последовательностей, где О встречается ровно 2 раза. Выбираем $C_4^2$ способами 2 позиции, где будет стоять О (на остальных тогда ставим решки). Аналогично для последовательностей, где О встречается ровно 3 раза – $C_4^3$ способами выбираем 3 позиции, где будет стоять О (на оставшейся позиции записывается решка). Подсчитывая число сочетаний и складывая, найдем количество благоприятствующих комбинаций: $$ m=C_4^2+C_4^3=frac<4!><2!2!>+frac<4!><3!1!>=frac<3cdot 4><1cdot 2>+4=6+4=10. $$ Итого получаем такое же значение вероятности: $P=m/n=10/16=0.625$.

Конечно, этот подход кажется сложнее из-за более формального математического описания решения, но гораздо легче масштабируется.

Например, если рассмотреть подобную задачу:

Пример 5. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза

Ответ можно получить без выписывания 256 комбинаций (. ), просто по аналогии с примером выше: $$ n=2^8=256;\ m=C_8^4=frac<8!><4!4!>=frac<5cdot 6cdot 7 cdot 8><1cdot 2 cdot 3 cdot 4>=70;\ P=frac=frac<70><256>=0.273. $$

Ради полноты изложения приведу еще пример задачи, решаемой подобным образом (но если хотите, можете сразу переходить к более простому способу 3).

Пример 6. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.

Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 6 монет. Так как каждый бросок дает 2 возможных исхода (О или Р), всего получим $n=2^6=64$ элементарных исхода (комбинации вида ОРОРОР, ОООРРР и т.д.).

Найдем число благоприятствующих исходов. Мысленно объединим два герба, которые должны появиться рядом, в один объект (ОО). Остается выбрать ему место среди остальных 4 решек (так гербов должно выпасть 2, то решек – 6-2=4). Существует $m=C_5^1=5$ способов выбрать позицию в последовательности из 5 объектов. Для наглядности, если выбрана позиция 2, то есть оба герба стоят на втором месте, это комбинация Р(ОО)РРР, если выбрана позиция 4 – РРР(ОО)Р.
Искомая вероятность: $P=m/n=5/64=0.078$.

Способ 3. Формула Бернулли

Рассмотрим общую задачу о подбрасывании монет.
Пусть бросается $n$ монет (или, что тоже самое, монета бросается $n$ раз). Нужно вычислить вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз.

Так как броски монет – события независимые (результат броска одной монеты не влияет на последующие броски), вероятность выпадения герба в каждом броске одинакова (и равна $p=1/2=0.5$), то можно для вычисления вероятности применить формулу Бернулли: $$ P=P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^ = C_n^k cdot left(1/2right)^k cdot left(1-1/2right)^=C_n^k cdot left(1/2right)^n. $$

То есть, мы вывели общую формулу, дающую ответ на вопрос “какова вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз из $n$” (запишем в трех эквивалентных видах, выбирайте удобный для себя): $$ P=C_n^k cdot left(1/2right)^n=frac<2^n>=C_n^k cdot 0.5^n, quad C_n^k=frac. $$

А теперь все задачи решаются проще простого, вот глядите!

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Подставляем $n=2, k=1$ и получаем $P=C_2^1 cdot left(1/2right)^2=2 cdot frac<1><4>=frac<1><2>=0.5.$

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Это уже третий способ решения задачи!
Подставляем $n=4, k=2$ и $k=3$, получаем $$P=C_4^2 cdot left(1/2right)^4+C_4^3 cdot left(1/2right)^4=(6+4) cdot frac<1><16>=frac<10><16>=0.625.$$

Пример 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Подставляем $n=3, k=0$ и получаем $P=C_3^0 cdot left(1/2right)^3=1 cdot frac<1><8>=frac<1><8>=0.125.$

Пример 8. Пусть бросают 8 монет. Найти вероятность того, что орел не менее 7 раз.

Подставляем $n=8, k=7$ и $k=8$ и получаем $$P=C_8^8 cdot left(1/2right)^8+ C_8^7 cdot left(1/2right)^8=(1+8) cdot frac<1><256>=frac<9><256>=0.035.$$

Таким образом, используя одну простейшую формулу, можно решать множество задач, причем неважно, 3 монеты бросается, или 30, сложность расчетов примерно одинакова. Но, если число бросков становится очень большим, удобнее использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа, о которых можно узнать здесь.

Полезные ссылки

Решебник по вероятности

А здесь вы найдете более 200 задач о бросании монет с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector